সূচক কাকে বলে? (সহজ সংজ্ঞা) | সূচক কী ধনাত্মক নাকি ঋনাত্মক? | সূচকের মান কীভাবে নির্ণয় করতে হয়?

প্রিয় পাঠকগণ, আজকের আলোচনার বিষয় হল সূচক। সূচক গণিতের একটি অত্যাবশ্যকীয় উপাদান, যা আমাদের দৈনন্দিন জীবনের গণনা ও সমস্যার সমাধানে বিশেষভাবে সাহায্য করে। তবে সূচক আসলে কী? এটি কিভাবে কাজ করে? এই ব্লগ পোস্টে আমরা সূচকের মূল ধারণা, এর ব্যবহার এবং নিয়মাবলী সম্পর্কে বিস্তারিত জানব। আপনারা যদি গণিতের এই গুরুত্বপূর্ণ দিকটি বোঝার জন্য প্রস্তুত থাকেন, তাহলে আমাদের সাথে থাকুন এবং সূচকের জগতে প্রবেশ করুন।

সূচক কাকে বলে?

কোন রাশিতে একই উৎপাদক যতবার গুণ আকারে থাকে তাকে ওই উৎপাদকের সূচক বলে।

একটি সংখ্যার উপরে এবং ডানে লেখা ছোট সংখ্যাটিকে সূচক বলে। আবার বলা যায়, যখন কোনো একটি সংখ্যা অন্য একটি সংখ্যার সাথে পরিবর্তনশীল হিসেবে উত্থিত হয়, তখন তাকে ঐ সংখ্যার সূচক বলে। 

উদাহরণস্বরূপ, ২^৫ এখানে, ৫ হলো ২ এর সূচক। এটাকে বীজগণিতের ভাষায় ইনডেক্স (Index) বলা হয়। Index এর বহুবচন হলো Indices।

সূচক ও ভিত্তি সংবলিত রাশিকে বলা হয় সূচকীয় রাশি।

ধরি, c যদি হয় কোনো ধনাত্মক পূর্নসংখ্যা আর b যদি হয় যেকোনো বাস্তব সংখ্যা, তাহলে c সংখ্যক b এর ক্রমিক গুণ হলো b^c। অর্থাৎ, b × b × b × … × b (c সংখ্যক বার)। এখানে, c ই হলো সূচক।

সূচকের মান কীভাবে নির্ণয় করতে হয়?

ইউটিউবে এই নিয়ে অনেক টিউটোরিয়াল ভিডিও পেয়ে যাবেন। তবে, এখানে এ বিষয়ে সহজভাবে আলোচনা করা হলো।

এখানে উদাহরণ টুকু আমরা x দিয়ে বুঝতে পারি। ধরি, দেয়া আছে, x³ = 27

এখন এখানে x এর মান আমরা কীভাবে বের করতে পারি? তো, x³ = 27

এখানে যদি x এর সূচক 3 কে ডান পাশে নিয়ে যাওয়া হয়, তা কিন্তু রুট ওভার এ পরিণত হচ্ছে।

x = 3√27 এমনটা

এখন 27 কে ভাঙালে আমরা পাই, 3 × 3 × 3

3√(3 × 3 × 3)

এখন, এখানে আমরা একটা 3 কে রুটের মাথার পাওয়ারের সাথে কেটে দিতে পারি। (3 এর স্থানে 4 বা অন্য সংখ্যা হলেও এমনটা হতো)

তাহলে বাকি থাকলো, √3 × 3 = √9 = 3

এর মানে হলো, x এর মান 3।

তো, যদি এমন থাকে যে, x⁵ = 32

তাহলে সমাধান হবে এরকম-

x⁵ = 32

বা, x = 5√32

বা, x = 5√(2 × 2 × 2 × 2 × 2)

বা, x = 2

এরকমটা হলো সমাধান।

সূচক কী ধনাত্মক নাকি ঋনাত্মক?

সূচক যেহেতু পাওয়ার বা শক্তি হিসেবে কাজ করে, তাই এটি যে কেবল ধনাত্মক হবে তা কিন্তু নয়। সূচক ঋনাত্মকও হতে পারে। যদি ভিত্তি b হয়, তাহলে c অবশ্যই বাস্তব সংখ্যার অন্তর্ভুক্ত। এখানে বাস্তব সংখ্যার সেটকে R হিসেবে ধরা যায়। আবার c যদি সূচক হয়, তাহলে এটি মূলদ সংখ্যার অন্তর্ভুক্ত। যাকে প্রকাশ করতে পারি Q দিয়ে।

যদি সূচক ঋনাত্মক হয়, তাহলে এটা দাঁড়ায় এরকম- c^-2

এখানে মাইনাস চিহ্ন থাকায়, উপরে আমরা 1 কে লব হিসেবে ধরতে পারি, আর নিচে হবে c²। সি স্কয়ার। তাই সূচক ধনাত্মক বা ঋনাত্মক উভয়ই হতে পারে।

তবে সূচকের ক্ষেত্রে সবসময় চারটি বিষয় মাথায় রাখতে হবে-

• N- সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেট
• Z- সকল পূর্ণ সংখ্যার সেট
• Q- সকল মূলদ সংখ্যার সেট
• R- সকল বাস্তব সংখ্যার সেট

সূচকের যত নিয়মাবলী

সূচকের মান যদি আমরা নির্ণয় করতে চাই, তবে এর নিয়মাবলী সম্পর্কে জানাটা সবচেয়ে জরুরি। এখানে প্রয়োজনীয় নিয়মাবলিগুলো আলোচনা করা হলো।

c কে ভিত্তি ধরে যদি সূচক সম্পর্কে জানতে চাই তাহলে বিষয়টি এরকম- c²

এখন যদি আমি আপনাদেরকে বলি 2² এর মান নির্ণয় করতে। তাহলে সহজেই বলতে পারবেন, 4।

তবে, c² এর মান? এর জন্য আমাদের দুইটির মধ্যে যেকোনো একটি তথ্য প্রয়োজন।

• c এর মান জানতে হবে,
• নয়তো, ফলাফল জানতে হবে।

c^(m+n)

এখানে এটাকে ভাঙালে আমরা পাই, c^m × cⁿ

অর্থাৎ, যদি কোনে একটি ভিত্তির সাথে যদি আলাদাভাবে দুইটি সংখ্যা সূচক হিসেবে থাকে, তবে সংখ্যা দুইটি যোগ করতে হবে। তবে, শর্ত হচ্ছে ভিত্তি এক হতে হবে। যেমন এখানে ভিত্তি c। কিন্তু যদি c^m × bⁿ এমনটা হতো, তবে আমরা সূচকদের যোগ করতে পারব না।

তবে, c^m × cⁿ থেকে c^(m×n) লিখলে ভুল হবে!

উদাহরণস্বরূপ, 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2

আবার, c^(m-n)

এখানে, এটা ভাঙালে পাই c^m ÷ cⁿ

গুণের ক্ষেত্রে যেমন যোগ হয়, তেমন ভাগের ক্ষেত্রে হয় বিয়োগ।

(c^m)ⁿ

যদি এমনটা থাকে তবে, c এর সাথে m সূচক হিসেবে কাজ করছে এবং n সি টু দি পাওয়ার এম সঙ্গে কিন্তু এর সূচক হিসেবে কাজ করছে। তাহলে আমরা c এর পাওয়ার অর্থাৎ সূচক m ও n গুন করে ফেলতে পারি। অর্থাৎ c^mn।

(cb)^m

যদি এমনটা থাকে তবে এটাকে ভাঙালে হয়- c^m × b^m। বুঝলেন কী? সংখ্যা দিয়ে বোঝাই। c = 2, b = 3, m = 2। তাহলে, (2 × 3)² = 6² = 36

2² × 3² = 4 × 9 = 36

এবার, নিশ্চয়ই বুঝলেন! তো এখানে m সূচকটা কিন্তু c ও b উভয় ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। আবার, যদি কোনো একটি সংখ্যার সূচক 0 (শূন্য) হয়, তবে কী হবে?

c⁰ = 1

হ্যাঁ, ঠিকই দেখেছেন। 1 হবে। এখানে আপনি যে সংখ্যাই ব্যবহার করুন না কেন, যদি কখনো সূচকের মান 0 হয়, তবে এর উত্তর অবশ্যই 1 হবে। আবার, c¹ যদি থাকে তবে সবসময়ই উত্তর 1 হবে।

সূচক গণিতের একটি মৌলিক ও গুরুত্বপূর্ণ অংশ, যা আমাদের সমস্যা সমাধানে অনেক সহজ করে তোলে। আশা করি, এই পোস্টটি আপনাদের জন্য তথ্যপূর্ণ ও সহায়ক হয়েছে। আরও বিস্তৃত এবং শিক্ষণীয় বিষয়বস্তু পড়ার জন্য, দয়া করে আমার ওয়েবসাইট studytika.com-এ যান। সেখানে আরও অনেক আকর্ষণীয় পোস্ট অপেক্ষা করছে।